Kemény Henrik 1925. január 29-én Budapesten született. Kemény a család bábosbódéjában nőtt fel, hatéves korában kezdett játszani. A bábozó családban már a nagyapa is a vásárokat járta bábjaival, a New Yorkban az MGM-nek dolgozó apja 1926-ban Hűvösvölgyben nyitott bádogbódét, és itt adták elő Paprika Jancsit.

Kemény első figuráját 1935-ben faragta ki, apjától a bábszínházat a munkaszolgálatban eltűnt apjától 1945-ben vette át. A családi bábszínházat az ötvenes években államosították, ezért Kemény Henrik kénytelen volt az Állami Bábszínházban dolgozni az Andrássy úton, ahol bábokat tervezett és készített, játszott, majd visszatért a vándorszínházhoz. A Bábszínészképzőn 1964-ben végzett.

Kemény alapította az első vidéki bábszínházat is Győrben. Közben folyamatosan járta az országot: "Volt egy Trabantom, bőröndlakó bábokkal egymagam jártam az országot. Azokban a kis falvakban, ahol nem volt művelődési ház, az istállóban, szalmakupacokon ülve élvezték a darabot. Egyes helyeken nem volt villany, ott a háború után talált tábori aggregátoromat indítottam be, autólámpát szereltem a paravánra, azzal világítottam."

2002-ben kiváló művész címet kapott. 2005-ben Kossuth-díjjal tüntették ki a hazai vásári bábjáték legtisztább hagyományainak őrzése és terjesztése érdekében végzett tevékenységéért, hét évtizedes, országszerte ismert és elismert legendás művészetéért. 2008-ban Prima-díjat kapott.

Egyébként a Kossuth-díjat először visszautasította, mert nem akarta együtt megkapni az akkori igazgatóval. A nyolcvanadik születésnapján elfogadta, és megalapította belőle a Korngut–Kemény Henrik Alapítványt.

2008-ban felröppent a hír, hogy Kemény visszavonul, de ezt később cáfolta: "Amíg fel tudom emelni a kezemet, addig játszani akarok".

A Népligetben a Mutatványos téren működött Kemény Henrik Bábszínháza, melyet 1982-ben kultúrtörténeti emlékké nyilvánítottak. Idén október elején égett le a Népligetben a volt bábszínház épülete. Mire a tűzoltók megérkeztek, a 300 négyzetméteres faszerkezet porig égett.

Azt a családi bábszínházazást, amit a Kemény Henrik és felmenői képviseltek, azt már senki nem folytatja, legalábbis Kemény így gondolta egy interjúban: "Már a nagyapámtól kezdve nálunk a bábelőadáshoz szükséges összes bábot, kelléket, mechanikai eszközt, a színpadot és minden más munkát magunk végeztük, és én ma is így végzem". Manapság a bábosok már készíttetik a bábokat és kellékeket.