A rébusz a következő: hány embernek kell lenni egy csoportban ahhoz, hogy 50 százalékos valószínűséggel legyen köztük két, ugyanazon a napon született tag? A válasz meglepő, de elég 23 fő.

Jim Frost statisztikus, aki már három könyvet publikált hasonló problémákról és az American Society of Quality's Statistics Digest rovatvezetője, szereti az ilyen fejtörőket, mert arra világítanak rá, hogy az ember milyen rosszul gondolkodik a valószínűségszámításokkal kapcsolatban.

Emellett azt is megmutatják, hogy a matematika milyen jótékony hatással lehet az életünkre. Tehát ezeknek a problémáknak az ellentmondó eredményei szórakoztatók, de célt is szolgálnak.

A születésnap-paradoxon kiszámítását Frost feltételezésekkel kezdte. Először is figyelmen kívül hagyta a szökőéveket, mivel ez leegyszerűsíti a matematikát, és nem sokat változtat az eredményen. Abból indult ki, hogy minden születésnapnak egyenlő esélye van.

Ha csak két embert vesz alapul, akkor annak esélye, hogy egy napon születtek, körülbelül 0,27 százalék.

Ha egy háromfős csoportot vizsgálunk, akkor a közös születésnap valószínűsége már körülbelül 0,82 százalék.

Minél többen vannak egy csoportban, annál nagyobb az esély arra, hogy legalább egy pár közösen ünnepelje a születésnapját. 23 fő esetén 50,73 százalék az esély, 57 fő esetén 99 százalékos a valószínűsége.

Statisztikai kizsákmányolás?

Az egyik amerikai főiskolán a statisztikaprofesszor rendszeresen fogad a diákokkal 20 dolláros tétben ugyanebben a témában. A hallgatók minden félévben belemennek a fogadásba, veszítenek, de a prof (elmondása szerint) visszaadja nekik a pénzt, és megtanítja a paradoxon megoldását. A hallgatók ott szokták elhibázni a megoldást, hogy első körben azt kezdik számolgatni, két embernek lehet-e egyszerre születésnapja, pedig először azt kell megállapítani, hogy egy ember születésnapjának mekkora az esélye. Aztán valószínűleg úgy kalkulálnak, hogy ha egy évben 365 nap van, akkor az 50 százalékhoz körülbelül 182 emberre van szükség. De ami a legfontosabb: jelentősen alábecsülik, milyen gyorsan növekszik a valószínűség a csoport méretével. A lehetséges párosítások száma exponenciálisan növekszik a csoport nagyságával.

A születésnapi rébusz Frost szerint fogalmilag egy másik exponenciális növekedési problémához kapcsolódik.

Ha valamilyen szolgáltatásért cserébe felajánlanak Önnek 1 centet az első napon, 2 centet a második napon, 4 centet a harmadikon, majd 8 és 16 centet, és így tovább 30 napon keresztül, ez jó üzletnek számít-e?

A legtöbben nem tartják annak, de az exponenciális növekedésnek köszönhetően összesen 10,7 millió dollárja lehet a 30. napon. Hát mi ez, ha nem a „sok kicsi sokra megy” matematikai bizonyítéka?

(Borítókép: Joan Poeppelman és Jane Brun 60. születésnapját ünnepli a 2017. évi Iker Fesztiválon 2017. augusztus 5-én. Fotó: Marvin Joseph / The Washington Post / Getty Images)